Question

18．设等比数列{a_n}的公比|q|＞1，前n项和为S_n，已知a₃=2，S₄=5S₂，求a₅+a₇．

Answer 1

分析 利用等比数列的求和公式及S₄=5S₂化简可知（1-q²）（1+q²）=5（1-q²），进而可知公比q=2，计算即得结论；

解答 解：由等比数列{a_n}的公比|q|＞1，S₄=5S₂，得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=5•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$，
即（1-q²）（1+q²）=5（1-q²），
因为|q|＞1，所以1-q²≠0，
从而1+q²=5，从而q=2，a₃=2，
于是a_n=a₃q^n-2=2^n-1；
a₅+a₇=2⁴+2⁶=80．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．