Question

1．“贵阳至南宁高速铁路”项目于2016年12月开工，全线长约512km，设计最高行车速度达350km/h．该高铁线途径河池市的环江、金城江、都安等地，预计2021年正适通车运行，通车后河池市将步入高铁时代．建设中用到的某种起重机的结构示意图如图所示，用该起重机将放在水平地面上的长方体混凝土墩放入水中．起重机的吊臂OAB粗细不计，可以看作杠杆，吊臂B端连着滑轮组，已知混凝土墩的密度为2.5×10³kg/m³、底面积为4m²、高为2m，ρ_水=1.0×10³kg/m³．求：
（1）混凝土墩的质量；
（2）混凝土墩被提起到最高点静止时，立柱CA恰好竖直，OA：OB=1：6．若忽略滑轮组、钢丝绳和吊臂的重力及各种摩擦，则起重机立柱CA对吊臂A点竖直向上的作用力是多少N．
（3）混凝土浸没在水中后，它匀速下降过程中所受钢丝绳的拉力．（不计水的阻力）

Answer 1

分析 （1）根据V=Sh算出混凝土墩的体积；根据m=ρV算出混凝土墩的质量；
（2）作出动力臂和阻力臂，利用相似三角形求出动力臂与阻力臂之比，然后根据杠杆平衡条件计算起重机立柱CA对吊臂A点竖直向上的作用力

解答 解：（1）混凝土墩的体积为：V=Sh=4m²×2m=8m³；
根据ρ=$\frac{m}{V}$得混凝土墩的质量为：
m=ρV=2.5×10³kg/m³×8m³=2×10⁴kg；
（2）混凝土墩浸没在水中受到浮力是：
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×8m³=8×10⁴N；
混凝土墩的重力：
G=mg=2×10⁴kg×10N/kg=2×10⁵N；
如图，

作出动力臂和阻力臂，
在Rt△AOC和Rt△BOD中，AC∥BD，
所以△AOC∽△BOD，
OA：OB=1：6
所以，OC：OD=1：6，
由图知，当石墩被提起且仍浸没在水中时，若忽略动滑轮、钢绳和吊臂的重力及各种摩擦，
石墩对杠杆B点的拉力为F_B=G-F_浮=2×10⁵N-8×10⁴N=1.2×10⁵N，
根据杠杆平衡条件可得：F_A×OC=F_B×OD，
起重机立柱CA对吊臂A点竖直向上的作用力：
F_A=$\frac{{F}_{B}×OD}{OC}$=$\frac{{F}_{B}×6OC}{OC}$=6F_B=6×1.2×10⁵N=7.2×10⁵N；
（3）混凝土浸没在水中后，它匀速下降过程中所受钢丝绳的拉力等于重力减去浮力，拉力为F_拉=F_B=G-F_浮=2×10⁵N-8×10⁴N=1.2×10⁵N，
答：（1）混凝土墩的质量是2×10⁴kg；
（2）起重机立柱CA对吊臂A点竖直向上的作用力是7.2×10⁵N；（3）混凝土浸没在水中后，它匀速下降过程中所受钢丝绳的拉力是1.2×10⁵N．

点评 本题主要考查密度、浮力、杠杆的平衡等知识，是一道综合题．