Question

9．质量分布均匀的实心立方体甲和乙放在水平地面上，如图所示．甲和乙的边长分别为0.2米和0.1米，密度分别为2×10³千克/米³和5×10³千克/米³．
（1）物体乙对地面的压强．
（2）若在甲、乙两物体上部，分别切去相同质量m₀后，使两物体对地面的压强相等，求切去的质量m₀．
（3）若在甲、乙两物体上部，分别切去相同体积V₀后，使两物体对地面的压强相等，求切去的体积V₀．

Answer 1

分析 （1）立方体物体对地面的压强p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρgh，知道乙的边长和密度可求物体乙对地面的压强；
（2）知道边长，可求两物体底面积（地面受力面积）；求出两物体的体积，知道密度，利用G=mg=ρVg可求两物体重力；在甲、乙两物体上部分别切去相同质量m₀后，可求剩余物体的重力，对地面的压力等于剩余物体的重力，利用压强定义式求对地面的压强，而压强相等，据此列方程求m₀的大小；
（3）在甲、乙两物体上部分别切去相同体积V₀后，可求剩余物体的重力，对地面的压力等于剩余物体的重力，利用压强定义式求对地面的压强，而压强相等，据此列方程求V₀的大小．

解答 解：
（1）因为立方体物体对地面的压强：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρgh，
所以物体乙对地面的压强：
p_乙=ρ_乙gh_乙=5×10³kg/m³×10N/kg×0.1m=5000Pa；
（2）两物体底面积（地面受力面积）：
S_甲=（0.2m）²=0.04m²，
S_乙=（0.1m）²=0.01m²，
两物体重力：
G_甲=m_甲g=ρ_甲V_甲g=2×10³kg/m³×10N/kg×（0.2m）³=160N，
G_乙=m_乙g=ρ_乙V_乙g=5×10³kg/m³×10N/kg×（0.1m）³=50N，
在甲、乙两物体上部分别切去相同质量m₀后，剩余物体的重力：
G_甲′=G_甲-m₀g=160N-m₀g，
G_乙′=G_乙-m₀g=50N-m₀g，
对地面的压力：
F_甲′=G_甲′=160N-m₀g，
F_乙′=G_乙′=50N-m₀g，
对地面的压强：
p_甲′=$\frac{{F}_{甲}′}{{S}_{甲}}$=$\frac{160N-{m}_{0}g}{0.04{m}^{2}}$，
p_乙′=$\frac{{F}_{乙}′}{{S}_{乙}}$=$\frac{50N-{m}_{0}g}{0.01{m}^{2}}$，
由题知，p_甲′=p_乙′，
即：$\frac{160N-{m}_{0}g}{0.04{m}^{2}}$=$\frac{50N-{m}_{0}g}{0.01{m}^{2}}$，
解得：m₀≈1.3kg；
（3）在甲、乙两物体上部分别切去相同体积V₀后，剩余物体的重力：
G_甲″=G_甲-ρ_甲V₀g=160N-ρ_甲V₀g，
G_乙″=G_乙-ρ_乙V₀g=50N-ρ_乙V₀g，
对地面的压力：
F_甲″=G_甲″=160N-ρ_甲V₀g，
F_乙″=G_乙″=50N-ρ_乙V₀g，
对地面的压强：
p_甲″=$\frac{{F}_{甲}″}{{S}_{甲}}$=$\frac{160N-{ρ}_{甲}{V}_{0}g}{0.04{m}^{2}}$，
p_乙″=$\frac{{F}_{乙}′}{{S}_{乙}}$=$\frac{50N-{ρ}_{乙}{V}_{0}g}{0.01{m}^{2}}$，
由题知，p_甲″=p_乙″，
即：$\frac{160N-{ρ}_{甲}{V}_{0}g}{0.04{m}^{2}}$=$\frac{50N-{ρ}_{乙}{V}_{0}g}{0.01{m}^{2}}$，
解得：V₀≈2.2×10^-4m³．
答：（1）物体乙对地面的压强为5000Pa．
（2）若在甲、乙两物体上部，分别切去相同质量m₀后，使两物体对地面的压强相等，切去的质量为1.3kg；
（3）若在甲、乙两物体上部，分别切去相同体积V₀后，使两物体对地面的压强相等，切去的体积为2.2×10^-4m³．

点评 本题考查了压强的计算，难点在后两问，根据剩余物体对地面的压强相等得出关于m₀和V₀的方程是本题的关键．