如图1，在⊙O的直径AB的不同侧有定点C和动点M，点C在⊙O上，点M在弧

AmB

上运动，弦AC=4，CM与AB相交于点E，过A作AP∥CM交BC的延长线交于点P．
（1）当M在运动过程中，满足

BC

=

BM

时
①求证：AP为⊙O的切线；
②若此时sin∠ACE=

1

3

，求⊙O的半径．
（2）如图2，连接CO，AM，OM，若∠OAC=60°，动点M从A点出发，当M运动到使S_△MAO=S_△CAO时，求动点M所经过的弧长．

某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心，准备购买一批书包捐赠给他们．经调查有这样的一批书包，原售价为每只220元，甲商店用如下方法优惠出售：买一只单价为218元，买两只每只都为216元，依此类推，即每多买一只则所买每只书包的单价均再减2元，但最低不能低于每只116元；乙商店一律按原售价的75%出售．
（1）若这位市民需购买20只书包，应去哪家商店购买花费较少？
（2）若此人恰好花费6000元，在同一家商店买了一定数量的书包，请问是在哪家商店购买的，数量是多少？

在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A的坐标为（-2，1），顶点B的坐标为（-1，2）．
（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；
（2）作△A′B′C′关于x轴对称的图形△A″B″C″；
（3）求出BB″的长．

已知f1=

1

1-t

，f2=

1

1-f1

，f3=

1

1-f2

，…，fn+1=

1

1-fn

（n为正整数），那么f₂₀₁₀=．（用t的代数式表示）．

如图，直线y=kx+b与双曲线y=

m

x

交于A（2，1），B（-1，-2）两点，根据图象可得关于x的不等式

m

x

＞kx+b的解是．