莱蒙托夫是俄国著名的诗人，爱好数学，有一次，他给一些军官表演猜数游戏，他请一名军官随便想好一个数，不要说出来，然后请这位军官将想好的数加上25，再加上125，再减去37，再减去最初想好的数，把所得的数乘以5，最后再除以2．这时莱蒙托夫说，我可以猜出你算出的结果，他问那位军官是282.5吗，那位军官非常吃惊，莱蒙托夫是怎样算出正确结果的，解释其中的道理．

已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，MN⊥AD，若∠1=∠2，求证：∠3=∠4，你还有什么发现？

甲、乙两船航行于海上，甲船的位置在乙船北方125km处，以15km/h的速度向东行驶，乙船以20km/h的速度向北行驶，则多久两船相距最近？最近距离为多少？

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，关于x的方程r²（x²+1）-2d²x=0有两个相等的实数根，则直线l与⊙O（　　）

如图（1），是一起吊重物的简单装置，AB是吊杆，当它倾斜时，将重物挂起，当它逐渐直立时，重物便能逐渐升高．在阳光下，当∠ABC=60°时，量得吊杆AB的影子长BC=11.5米，很快将吊杆直立（直立过程所需时间忽略不计），如图（2），AB与地面垂直时，量得吊杆AB的影子长BC=4米，求吊杆AB的长（结果精确到1米）．

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，c=5，且cos²A-2

2

cosA+1=0，求b的值．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=

2

．
（1）求斜边AB的长；
（2）求这个直角三角形的面积．

如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BC=AD=8，sinB=

4

5

，求tan∠CAD的值．

等边△ABC边长为1，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，△DEF也是等边三角形．
（1）证明：△ADF≌△CFE≌△BED．
（2）设AD=x，△DEF的面积为y，写出y与x的函数关系式．
（3）当x取什么值时，△DEF的面积最小？并求出最小值．

已知如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，△DCE是等腰三角形，CD=CE，点B、C、E在一条直线上，点M是AB上的一点，P是线段MC的中点，PA⊥PN，点N在DE上．
（1）探究PA与PN的关系，并证明你的结论．
（2）探究DN与AM的关系，并证明你的结论．