Question

已知如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，△DCE是等腰三角形，CD=CE，点B、C、E在一条直线上，点M是AB上的一点，P是线段MC的中点，PA⊥PN，点N在DE上．
（1）探究PA与PN的关系，并证明你的结论．
（2）探究DN与AM的关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）先证△MGP≌△CPI，再得出△JPG≌△NPI，最后证明△AGN是等边三角形，即可求解；
（2）首先证明A、H、N、P四点共圆，则∠AHN=90°，然后利用三角函数即可求解．

解答：解：（1）连接BD．
过点P作HG∥BD交AD、AB延长线于点H、G．延长NO到J使IP=NP，连接AN、AJ．
∵P是MC的中点，MG∥IC
∴△MGP≌△CIP，
∴PI=PG，
∴△JPG≌△NPI，
∴JG=NI．
∵菱形ABCD中，∠BAD=180°-∠ABC=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形．
又∵HG∥BD，
∴△DIH和△AGH都是等边三角形．
∴△NHD≌△NID，
∴NI=NH=JG．
∵P是MC的中点，AP⊥NJ，
∴JG=AN．
在△AJG和△ANH中，

AJ=AN AG=AH JG=NH

，
∴△AJG≌△ANH（SSS）．
又∵△AJN是等边三角形，
∴PA=

3

PN；
（2）设AM=x，DI=y，AB=a，
则CI=MG=a-y，
∵四边DBGI是平行四边形，
∴BG=y，
∴MB=a-y-y，
∵x+MB=a，
∴x+a-y-y=a，
∴x=2y，
∴AM=2DI．
∵∠AHP=∠ANP=60°，
∴A、H、N、P四点共圆．
∵∠APN=90°，
∴∠AHN=90°，则y=

3

2

DN，
∴DI=

3

2

DN．
∴AM=

3

DN．

点评：本题是推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是关键．