在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止。

（1）如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t秒时，正方形ABCD与∠POD重叠部分的面积为y。

①求当t=4，8，14时，y的值。

②求y关于t的函数解析式。

（2）如图2，若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止。P、Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度。设t秒时，正方形ABCD与∠POD（包括边缘及内部）重叠部分的面积为S，S与t的函数图像如图3所示。

①P，Q两点在第           秒相遇；正方形ABCD的边长是         

②点P的速度为         单位长度/秒；点Q的速度为          

③当t为何值时，重叠部分面积S等于9？

（1）解：在△AOC中，AC=4，

    ∵ AO＝OC＝4，

∴ △AOC是等边三角形．………1分

∴ ∠AOC＝60°，

∴∠AEC＝30°．…………………3分

（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．

∴ OC∥BD． ……………………4分

∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．

∵ AB为⊙O的直径，

∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．  …………………………7分

    ∴∠EAB＝∠AEC．

    ∴ 四边形OBEC 为平行四边形．  …………………………………6分

    又∵ OB＝OC＝4． 

    ∴ 四边形OBEC是菱形．  …………………………………………7 分

如图，⊙O的直径AB=8，C为圆周上一点，AC=4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E．

 (1) 求∠AEC的度数；

（2）求证：四边形OBEC是菱形．

证明：（1）∵ABCD是菱形

              ∴AB=AD，BC=CD,∠B=∠D  （2分）

              又  CE=CF

                 ∴BC—CE=CD—CF

                   即BE=DF              （4分）

              ∴△ABE≌△ADF

              ∴AE=AF                     （6分）

已知：如图，菱形中，分别是上的点，且_CE=CF．

求证：．

（1）是矩形中的中点，

，

，     

，，

                   （3分）

   （2），

作于点，，

， ∽

，    

，    （3分）

（3），

     同理∽  

当越来越大时，越来越接近于12．                   （4分）

矩形纸片中，，现将这张纸片按下列图示方式折叠，是折痕．

（1）如图1，P，Q分别为，的中点，点的对应点在上，求和的长；

（2）如图2，，点的对应点在上，求的长；

（3）如图3，，点的对应点在上．

①直接写出的长（用含的代数式表示）；  ②当越来越大时，的长越来越接近于  ▲  ．

解：（1）如图①AH=AB

（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN

∵ABCD是正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°

∴Rt△AEB≌Rt△AND

∴AE=AN，∠EAB=∠NAD

∴∠EAM=∠NAM=45°

∵AM=AM

∴△AEM≌△ANM

∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，

∴AB=AH

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，

得到△ABM和△AND

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°

分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.                          

  设AH=x，则MC=,  NC=                             图②

在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得

∴

解得.（不符合题意，舍去）

∴AH=6.

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数

量关系：             ；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．

（可利用（2）得到的结论）

答案：（1）∵四边形是正方形，∴，且   （2分）

又∵是公共边，∴△≌△，                              （2分）

∴∠ =∠                                                 （1分）

（2）联结                                                             （1分）

∵，

∴∠ =∠                                                 （1分）

∵∠=∠，∠ =∠，

∴∠=∠．

∵∠+∠=∠+∠，

∴∠=∠                                                   （1分）

∵四边形是正方形，

∴∠=∠ =45°，∠=∠= 45°，

∴∠=∠                                                  （1分）

∴∠=∠．                                                 （1分）

又∵∠是公共角，∴△∽△，                           （1分）

∴，即                                        （1分）