Question

6．化简求值：
①$（\frac{3}{x-1}-x-1）÷\frac{x-2}{{{x^2}-2x+1}}$，其中x满足方程x²+x-5=0．
②已知双曲线y=$\frac{3}{x}$与直线y=x-2$\sqrt{3}$相交于点P（a，b），求$\frac{2}{a}-\frac{2}{b}$值．

Answer 1

分析 ①原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除数分母利用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将已知方程变形后代入计算，即可求出值；
②由两函数图象交于P点，将P坐标分别代入两函数解析式，得到ab与a-b的值，将所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，把ab与a-b的值代入即可求出值．

解答 解：①原式=（$\frac{3}{x-1}$-$\frac{{x}^{2}-1}{x-1}$）÷$\frac{x-2}{（x-1）^{2}}$
=[-$\frac{（x+2）（x-2）}{x-1}$]•$\frac{（x-1）^{2}}{x-2}$
=-（x+2）（x-1）
=-（x²+x-2），
∵x²+x-5=0，
∴x²+x=5，
则原式=-（5-2）=-3．
②双曲线y=$\frac{3}{x}$与直线y=x-2$\sqrt{3}$相交于点P（a，b），
∴b=$\frac{3}{a}$，b=a-2$\sqrt{3}$，
∴ab=3，a-b=2$\sqrt{3}$，
则$\frac{2}{a}-\frac{2}{b}$=$\frac{2（b-a）}{ab}$=$\frac{2×（-2\sqrt{3}）}{3}$=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了分式的化简求值，反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．