Question

4．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是$\widehat{AE}$的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=$\frac{1}{2}$，BC=2$\sqrt{3}$，则MD的长度为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图，要求MD，只要求出OD、OM即可；根据题意容易发现OD为△ABE的中位线，因此应首先求出BE；运用三角函数的定义求出BE；容易证明△OBE为等边三角形，可求出OM=OB=BE，即可解决问题．

解答 解：如图，∵点M是$\widehat{AE}$的中点，
∴OM⊥AE，AD=DE；而OA=OB，
∴OD是△ABE的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$BE；
∵OE=OB，且∠BOE=60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OM=OB=BE；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°；
∵cosC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EC}{BC}=\frac{1}{2}$，而BC=2$\sqrt{3}$，
∴EC=$\sqrt{3}$，BE=3，
∴OD=$\frac{3}{2}$，MD=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故选B．

点评 该题主要考查了垂径定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握垂径定理、三角形的中位线定理等知识点，并能灵活运用、解题．