题目内容
16．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，动点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AB边向B点运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿边BC→CD→DA运动，两点同时出发，点P到达B处时两点运动停止，记P，Q的运动时间为t．（1）是否存在时刻t，使线段PQ将正方形ABCD的周长分为1：2的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2）是否存在时刻t，使线段PQ将正方形ABCD的面积分为1：3两部分，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先由四边形ABCD是边长为6的正方形，求出正方形ABCD的周长为24，然后根据线段PQ将正方形ABCD的周长分为1：2的两部分，则两部分的周长分别为：8和16，然后分①当Q点在BC上时，即0≤t≤2时；②当Q点在CD上时，即2＜t≤4时；③当Q点在AD上时，即4＜t≤6时3种情况讨论即可；
（2）先求出正方形ABCD的面积为36，然后根据线段PQ将正方形ABCD的面积分为1：3两部分，则两部分的面积分别为：9和27，然后分①当Q点在BC上时，即0≤t≤2时；②当Q点在CD上时，即2＜t≤4时；③当Q点在AD上时，即4＜t≤6时3种情况讨论即可．
解答 解：（1）存在时刻t，使线段PQ将正方形ABCD的周长分为1：2的两部分，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴正方形ABCD的周长为24，
∵PQ将正方形ABCD的周长分为1：2的两部分，
∴两部分的周长分别为：24×$\frac{1}{3}$=8和24×$\frac{2}{3}$=16，
①当Q点在BC上时，即0≤t≤2时，如图1所示，
∵动点P的运动速度为每秒1个单位，动点Q的运动速度为每秒3个单位，
∴经过t秒，AP=t，BQ=3t，
则BP=6-t，QC=6-3t，∴BP+BQ=6+2t，AP+AD+DC+QC=24-6-2t，
∵BP+BQ=$\frac{1}{2}$（AP+AD+DC+QC），
即6+2t=$\frac{1}{2}$（24-6-2t），
解得：t=1；
②当Q点在CD上时，即2＜t≤4时，如图2，
∵动点P的运动速度为每秒1个单位，动点Q的运动速度为每秒3个单位，
∴经过t秒，AP=t，QC=3t-6，
∴BP=6-t，DQ=12-3t，
∴BP+BC+QC=6-t+6+3t-6=6+2t，AP+AD+DQ=18-2t，
∵BP+BC+QC=$\frac{1}{2}$（AP+AD+DQ），或BP+BC+QC=2（AP+AD+DQ），
即6+2t=$\frac{1}{2}$（18-2t），或6+2t=2（18-2t），
解得：t=1或t=7，不符合题意舍去；
③当Q点在AD上时，即4＜t≤6时，如图3，
∵动点P的运动速度为每秒1个单位，动点Q的运动速度为每秒3个单位，
∴经过t秒，AP=t，QD=3t-12，
∴BP=6-t，AQ=18-3t，
∴AP+AQ=18-2t，BP+BC+CD+DQ=24-（18-2t）=6+2t，
∵AP+AQ=$\frac{1}{2}$（BP+BC+CD+DQ），
即18-2t=12（6+2t），
解得：t=5．
∴当t取1秒或5秒，使线段PQ将正方形ABCD的周长分为1：2的两部分；
（2）存在时刻t，使线段OQ将正方形ABCD的面积分为1：3两部分．
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴正方形ABCD的面积为36，
∵PQ将正方形ABCD的面积分为1：3的两部分，
∴两部分的面积分别为：36×$\frac{1}{4}$=9和36×$\frac{3}{4}$=27，
①当Q点在BC上时，即0≤t≤2时，如图1所示，
由（1）中的①知，BP=6-t，BQ=3t，
∵S△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•BQ，
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$（6-t）•3t，
当$\frac{1}{2}$（6-t）•3t=9时，
解得：t1=3+$\sqrt{3}$（舍去），t2=3-$\sqrt{3}$，
当$\frac{1}{2}$（6-t）•3t=27时，
解得：无解；
②当Q点在CD上时，即2＜t2≤4时，如图2所示，
由（1）中的②知，BP=6-t，QC=3t-6，
∵S梯形PBCQ=$\frac{1}{2}$（QC+BP）•BC，
即S梯形PBCQ=$\frac{1}{2}$（3t-6+6-t）×6，
当$\frac{1}{2}$（3t-6+6-t）×6=9时，
解得：t=1.5（舍去），
当$\frac{1}{2}$（3t-6+6-t）×6=27时，
解得：t=4.5（舍去）；
③当Q点在AD上时，即4＜t≤6时，如图3，
由（1）中的③知，AP=t，AQ=18-3t，
∵S△APQ=$\frac{1}{2}$AP•AQ，
即S△APQ=$\frac{1}{2}$•t•（18-3t），
当$\frac{1}{2}$t（18-3t）=9时，
解得：t1=3+$\sqrt{3}$，t2=3-$\sqrt{3}$（舍去），
当$\frac{1}{2}$t（18-3t）=27时，
解得：无解．
∴存在时刻t为（3+$\sqrt{3}$）秒或（3-$\sqrt{3}$）秒，使线段PQ将正方形ABCD的面积分为1：3两部分．
点评 本题考查了正方形的性质、及正方形的周长与面积，特别是题目中涉及的动点问题，对学生来说是一个难点，解题的关键是：分类讨论①当Q点在BC上时，即0≤t≤2时；②当Q点在CD上时，即2＜t≤4时；③当Q点在AD上时，即4＜t≤6时3种情况讨论．
快乐暑假暑假能力自测中西书局系列答案| A． | $\sqrt{9}$的算术平方根是$\sqrt{3}$ | B． | ±$\frac{3}{4}$是$\frac{9}{16}$的算术平方根 | ||
| C． | -8的立方根是2 | D． | 0没有平方根 |
如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是$\widehat{AE}$的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=$\frac{1}{2}$，BC=2$\sqrt{3}$，则MD的长度为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{3}$ |
在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交射线ED于点F．设BE=y，DF=x．
如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y=$\frac{5}{x}$（x＞0）的图象交于A、B，设A（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形的面积和周长分别是5、12．