Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于一、三象限内的A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，n）．线段AO=13，D为y轴上一点，且sin∠AOD=$\frac{5}{13}$．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOD=$\frac{5}{13}$，OA=13，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（-5，-12），把A（-5，-12）代入y=$\frac{m}{x}$，确定反比例函数的解析式为y=$\frac{60}{x}$；将B（3，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=ax+b，求出a和b，即可得到结论；
（2）先令x=0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．

解答 解：（1）过点A作AE⊥x轴于E点，如图，
∵sin∠AOD=$\frac{5}{13}$，OA=13，
∴sin∠AOE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{AE}{13}$=$\frac{5}{13}$，
∴AE=5，
∴EO=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
而点A在第三象限，
∴点A的坐标为（-5，-12），
将A（-5，-12）代入y=$\frac{m}{x}$，得m=60，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{60}{x}$；
将B（3，n）代入y=$\frac{60}{x}$，得n=20；
将A（-5，-12）和B（3，20）分别代入y=ax+b，得
$\left\{\begin{array}{l}{-5a+b=-12}\\{3a+b=20}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴所求的一次函数的解析式为y=4x+8；

（2）在y=4x+8中，令x=0，
即y=8
∴C点坐标为（0，8），即OC=8，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$•AE•OC=$\frac{1}{2}×5×8$=20；

（3）不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集为：x＜-5，或0＜x＜3．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析，解方程组等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．