Question

13．如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点G，且AD=BD．
（1）求证：△BDG≌△ADC；
（2）若BD=3CD，△ABC的面积为20，求△ABG的面积．

Answer 1

分析 （1）证明∠GBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDG≌△ADC；
（2）根据BD=3CD，△ABC的面积为20，得出S_△ACD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=5，S_△ABD=15，再根据ASA求得△ACD≌△BGD即可求得S_△BGD=S_△ACD=5，进而求得S_△ABG=S_△ABD-S_△BGD=10．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠GDB=∠ADC=90°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEG=∠GDB=90°，
∵∠AGE=∠BGD，
∴由三角形内角和定理得：∠CAD=∠GBD，
在△ADC和△BDG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BDG}\\{AD=BD}\\{∠CAD=∠DBG}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDG（ASA）；
（2）∵BD=3DC，
∴S_△ABD=3S_△ACD，
∵S_△ABC=20，
∴S_△ACD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=5，
∴S_△ABD=15，
∵△ACD≌△BGD，
∴S_△BGD=S_△ACD=5，
即S_△ABG=S_△ABD-S_△BGD=15-5=10．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．