Question

10．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
（1）△EPF是等腰直角三角形；（2）S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；（3）2EF≥BC；（4）BE²+CF²=EF²，
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（1）（2）（3）（4）（填序号）

Answer 1

分析 通过证明△AFP≌△BEP就可以得出AF=BE，EP=PF，得出AE=CF，得出△EPF是等腰直角三角形，由S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF．就可以得出S_{四边形AEPF}=S_△CPF+S_△APF，就可以得出结论，由AF=BE，AE=CF得出EF²=BE²+CF²；求得当EP⊥AB时，EP取最小值，此时EP=$\frac{1}{2}$AB，则EF_最小值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，进一步得出结论．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴∠B=∠PAF=45°，BP=AP，
∵∠APE+∠BPE=90°，∠APE+∠APF=90°，
∴∠BPE=∠APF．
在△BPE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PAF}\\{BP=AP}\\{∠BPE=∠APF}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△BEP（ASA），
∴BE=AF，PE=PF，
故（1）△EPF是等腰直角三角形正确；
∵EPF=90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理，得EF²=PE²+PF²，
∴EF²=BE²+CF²．故（4）正确；
∵S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF．
∴S_{四边形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S△FAE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．故（2）正确．
由（1）知，△EPF是等腰直角三角形，则EF=$\sqrt{2}$EP．
当EP⊥AB时，EP取最小值，此时EP=$\frac{1}{2}$AB，则EF_最小值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
则2EF≥BC．故（3）正确；
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．