Question

如图，在四边形ABCD中，AC=BD，对角线AC，BD交于点0，AC丄BD，E，F，G，H分别AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．

解答：证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
故可得：EF=

1

2

AC，同理FG=

1

2

BD，GH=

1

2

AC，HE=

1

2

BD，
在四边形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形．

点评：此题考查了正方形的判定，解题的关键是了解既是矩形又是菱形的四边形是正方形，难度适中．