Question

15．如图△ABC中，tan∠C=$\frac{1}{2}$，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 作辅助线BF⊥AC，根据题目中的数据利用三角形相似和勾股定理可以分别求得BF、EF、BE的长度，本题得以解决．

解答 解：作BF⊥AC于点F，如右图所示，
∵CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，DE⊥AC，
∴$\frac{DE•AE}{2}×10=\frac{CE•BF}{2}$，
即$\frac{1×AE}{2}×10=\frac{5×BF}{2}$，
解得，BF=2AE，
设AE=a，则BF=2a，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴△ADE∽△ABF，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{DE}{BF}$，
即$\frac{a}{AF}=\frac{1}{2a}$，得AF=2a²，
∴EF=2a²-a，
∵tan∠C=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{BF}{CF}$，BF=2a，
解得，CF=4a，
∵CE=CF+EF，CE=5，
即5=4a+2a²-a，
解得，a=1或a=-2.5（舍去），
∴BF=2，EF=1，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
故选C．

点评 本题考查直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理解答．