在△ABC中.∠B=45°.∠C=30°.点D是BC上一点.连接AD.过点A作AG⊥AD.在AG上取点F.连接DF．延长DA至E.使AE=AF.连接EG.DG.且GE=DF．(1)若AB=2$\sqrt{2}$.求BC的长,(2)如图1.当点G在AC上时.求证:BD=$\frac{1}{2}$CG,(3)如图2.当点G在AC的垂直平分线上时.直接写出$\frac{AB}{CG}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．
（1）若AB=2$\sqrt{2}$，求BC的长；
（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=$\frac{1}{2}$CG；
（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出$\frac{AB}{CG}$的值．

分析（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．
（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=$\sqrt{3}$a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∴∠AHB=∠AHC=90°，
在RT△AHB中，∵AB=2$\sqrt{2}$，∠B=45°，
∴BH=AB•cosB=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
AH=AB•sinB=2，
在RT△AHC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=4，CH=AC•cosC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=BH+CH=2+2$\sqrt{3}$．
（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，
∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，
在△DAF和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{DF=EG}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△GAE，
∴AD=AG，
∴∠BAP=90°=∠DAG，
∴∠BAD=∠PAG，
∵∠B=∠APB=45°，
∴AB=AP，
在△ABD和△APG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AP}\\{∠BAD=∠PAG}\\{AD=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△APG，
∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，
∴∠GPB=∠GPC=90°，
∵∠C=30°，
∴PG=$\frac{1}{2}$GC，
∴BD=$\frac{1}{2}$CG．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，
在RT△AHC中，∵∠ACH=30°，
∴AC=2AH，
∴AH=AP，
在RT△AHD和RT△APG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AP}\\{AD=AG}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△APG，
∴∠DAH=∠GAP，
∵GM⊥AC，PA=PC，
∴MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，
∴∠DAM=∠GAM=45°，
∴∠DAH=∠GAP=15°，
∴∠BAD=∠BAH-∠DAH=30°，
作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=$\sqrt{3}$a，AD=2a，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{a+\sqrt{3}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∵AG=CG=AD，
∴$\frac{AB}{CG}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．