Question

5．若t为实数，关于x的方程x²-4x+t-2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a²-1）（b²-1）的最小值是（　　）

• A． -15
• B． -16
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 a，b是关于x的一元二次方程x²-4x+t-2=0的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简（a²-1）（b²-1）即可求解．

解答 解：∵a，b是关于x的一元二次方程x²-4x+t-2=0的两个非负实根，
∴可得a+b=4，ab=t-2≥0，△=16-4（t-2）≥0．
解$\left\{\begin{array}{l}{t-2≥0}\\{16-4（t-2）≥0}\end{array}\right.$得：2≤t≤6
（a²-1）（b²-1）=（ab）²-（a²+b²）+1=（ab）²-（a+b）²+2ab+1，
∴（a²-1）（b²-1），
=（t-2）²-16+2（t-2）+1，
=（t-1）²-16，
∵2≤t≤6，
∴当t=2时，（t-1）²取最小值，最小值为1，
∴代数式（a²-1）（b²-1）的最小值是1-16=-15，
故选：A．

点评 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，属于中档题，关键要掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．