Question

18．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD=AC．证明：在AC上截取AE=AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．

Answer 1

分析 （1）在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明ED=EC即可；
（2）先过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，因为EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC．

解答 证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图1：

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠BAD=∠DAC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
∴AB+BD=AE+CE=AC；
（2）过E作EF∥AD，交AB于F，如图2：

则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，
∴AF=EF=FB，
又∵EF∥AD∥BC，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=$\frac{AD+BC}{2}$，
∴AF+FB=2EF，
∴AB=AD+BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．