Question

15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=9cm，BC=12cm，点D从B出发以每秒2cm的速度在线段BC上从B向C运动，点E同时从C出发以每秒2cm的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE．设运动时间为t秒，当∠ADE=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC时，
（1）证明：∠ADE=∠B；
（2）求运动时间t的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，根据相似比，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答 （1）证明：∵AB=AC=9cm，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠BAC}{2}$，
即∠B=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠ADE=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ADE=∠B；
（2）设运动t秒，BD=2t，CE=2t，
∵∠B=BDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，
$\frac{9}{12-2x}$=$\frac{2x}{2x}$．
12-2x=9．
解得x=1.5，
答：运动时间为1.5秒．

点评 本题考查了相似三角形，利用了三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的相似比得出方程是解题关键．