Question

7．已知，x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两个根，
（1）求$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值；
（2）求一个新的一元二次方程，使它的两根分别是原方程两根的相反数．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3，将$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$变形为$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，代入数据即可得出结论；
（2）由x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3可得出（-x₁）+（-x₂）=-（x₁+x₂）=-2、（-x₁）•（-x₂）=x₁•x₂=-3，结合根与系数的关系即可得出当a为1时，以-x₁和-x₂为两根的一元二次方程，此题得解．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两个根，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{10}{3}$．
（2）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴（-x₁）+（-x₂）=-（x₁+x₂）=-2，（-x₁）•（-x₂）=x₁•x₂=-3，
∴当a=1时，-x₁和-x₂是方程x²+2x-3=0的解，
即新方程为x²+2x-3=0．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据根与系数的关系找出x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3；（2）利用根与系数的关系找出当a=1时的一元二次方程，