如图.在正方形ABCD中．点P是对角线AC上一个动点.连接PB.过点P作PF⊥PB.交直线DC于点F．作PE⊥AC交直线DC于点E．连按AE.BF．(1)由题意易知.△ADC≌△ABC．观察图.请猜想另外两组全等的三角形△PEF≌△PCB,△ADE≌△BCF,(2)求证:四边形AEFB是平行四边形,(3)已知AB=2$\sqrt{2}$.△PFB的面积是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，在正方形ABCD中．点P是对角线AC上一个动点（不与点A，C重合），连接PB，过点P作PF⊥PB，交直线DC于点F．作PE⊥AC交直线DC于点E．连按AE，BF．
（1）由题意易知，△ADC≌△ABC．观察图，请猜想另外两组全等的三角形△PEF≌△PCB；△ADE≌△BCF；
（2）求证：四边形AEFB是平行四边形；
（3）已知AB=2$\sqrt{2}$，△PFB的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据题意可以证明△PEF≌△PCB，△ADE≌△BCF；
（2）由△PEF≌△PCB，推出EF=BC由AB=BC，推出AB=EF，由AB∥EF，推出四边形AEFB是平行四边形．
（3）首先证明△PBF是等腰直角三角形，注意PB最短时，△PBF的面积最小，只要求出PB的最小值即可．

解答（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=DC=BC，∠ACD=∠ACB=45°，
∵PE⊥AC，PB⊥PF，
∴∠EPC=∠BPF=90°，
∴∠EPF=∠CPB，∠PEB=∠PCE=45°，
∴PE=PC，
在△PEF和△PCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEF=∠BCP}\\{∠EPF=∠CPB}\\{PE=PC}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PCB，
∴EF=BC=DC，
∴DE=CF，
在△ADE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠BCF=90°}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCF，
故答案为PEF，PCB，ADE，BCF；

（2）证明：由（1）可知△PEF≌△PCB，
∴EF=BC，∵AB=BC，
∴AB=EF，∵AB∥EF，
∴四边形AEFB是平行四边形．

（3）解：存在．理由如下：
∵△PEF≌△PCB，
∴PF=PB，∵∠BPF=90°，
∴△PBF是等腰直角三角形，
∴PB最短时，△PBF的面积最小，
∴当PB⊥AC时，PB最短，此时PB=AB•cos45°=2，
∴△PBF的面积最小值为$\frac{1}{2}$×2×2=2．