Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交x轴于点A，点B，交y轴于点E，其中B点的坐标为（3，0），OB=3OA，连接AE，tan∠EAO=3，直线y=-2x-2交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若M是抛物线上不同于点A，点B的另一点，Q是抛物线对称轴上的点，求以A、B、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时点M的坐标；
（3）若P（x，y）（x＞0）是抛物线上一动点，求使△PCD的面积最小时点P的坐标及△PCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据OB与OA的关系，可得A点坐标，根据三角函数，可得C点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据平行四边形的对边相等，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据平行于CD且与抛物线相切，可得P点坐标，根据面积的和差，可得答案．

解答 解：（1）由B点的坐标为（3，0），OB=3OA，得
A（1，0）．
由tan∠EAO=$\frac{EO}{AO}$=3，得
EO=3AO=3，即E（0，3）．
将A、B、E代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）如图1，
设M（m，x²-4x+3），MQ=2-m．AB=3-1=2．
由四边形ABQE是平行四边形，得
EQ=AB，即2-m=2．
解得m=0，
当m=0时，y=3，即M（0，3）；
如图2，
设M（m，x²-4x+3），MQ=m-2．AB=3-1=2．
由四边形ABQE是平行四边形，得
EQ=AB，即m-2=2．
解得m=4，
当m=4时，y=3，即M（4，3）；
综上所述：以A、B、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时点M的坐标（0，3）或（4，3）；
（3）如图3，
CD的解析式为y=-x-2，设平行CD与抛物线相切于P点的直线为y=-x+b，
联立过P点的切线与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
x²-3x+3-b=0．
△=b²-4ac=（-3）²-4×（3-b）=0．
解得b=$\frac{3}{4}$．
当b=$\frac{3}{4}$时，x²-3x+$\frac{9}{4}$=0，
解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
即P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
设CP的解析式为y=kx+b，将C、P点坐标代入函数解析式，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=-\frac{3}{4}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{14}}\\{b=-\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，
CP的解析式为y=-$\frac{3}{14}$x-$\frac{3}{7}$，
当x=0时，y=-$\frac{3}{7}$，即F（0，-$\frac{3}{7}$）．
CF=-$\frac{3}{7}$-（-2）=$\frac{11}{7}$．
S_△PCD最小=$\frac{1}{2}$PD（x_P-x_C）=$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{7}$×[$\frac{3}{2}$-（-2）]=$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用平行于CD且与抛物线相切得出P点坐标是解题关键，利用面积的和差是求面积的关键．