Question

10．已知，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+5与y=2x的图象分别为直线l₁和l₂，l₁与l₂交于点A，l₁与x轴、y轴交于B、C．
（1）求点A的坐标；
（2）求证：l₁⊥l₂；
（3）平面上有一点M，使得四边形OABM为矩形，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）联立两个一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解即可确定出A的坐标；
（2）根据A，O以及B的坐标，求出AO，AB以及OB的长，利用勾股定理的逆定理判断即可；
（3）若四边形OABM为矩形，则有两组对边平行，分别确定出BM与OM所在直线的解析式，联立即可求出M的坐标．

解答 解：（1）联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+5}\\{y=2x}\end{array}\right.$，
消去y得：-$\frac{1}{2}$x+5=2x，
解得：x=2，
把x=2代入得：y=4，
则A（2，4）；
（2）∵A（2，4），0（0，0），B（10，0），
∴AO=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，OB=10，
∴AO²+AB²=OB²，
∴AO⊥AB，即l₁⊥l₂；
（3）如图所示，若四边形OABM为矩形，则有OA∥BM，AB∥OM，
∴BM所在直线解析式为y=2（x-10）=2x-20，OM所在直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-20}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
消去y得：2x-20=-$\frac{1}{2}$x，
解得：x=8，
把x=8代入得：y=-4，
则M坐标为（8，-4）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线交点的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，坐标与图形性质，以及矩形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．