Question

9．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC=90°，BC=10cm，AC=6cm，则DF=2cm．

Answer 1

分析 方法一：延长AF交BC于H，根据DE是△ABC的中位线判断出AF=FH，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CH=AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．
方法二：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF，然后根据DF=DE-EF计算即可得解．

解答 解：方法一：如图，延长AF交BC于H，
∵点D，点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AF=FH，
∵∠AFC=90°，
∴CF垂直平分AH，
∴CH=AC=6cm，
∵BC=10cm，
∴BH=BC-CH=10-6=4cm，
在△ABH中，DF是中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$BH=$\frac{1}{2}$×4=2cm；
方法二：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×10=5cm，
∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3cm，
∴DF=DE-EF=5-3=2cm．
故答案为：2．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，作辅助线构造出以DF为中位线的三角形是解题的关键；方法二考虑利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解更简便．