Question

6．（1）某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图1所示，已知AC=BC=8m，∠ACB=120°，CD⊥AB于点D．求AB的长度．
（2）如图2所示，在平行四边形ABCD中，BE、CF平分∠B、∠C，交AD于E、F两点，求证：AF=DE．

Answer 1

分析 （1）首先计算出∠A=30°，再根据直角三角形的性质可得CD=$\frac{1}{2}$AC=4m，再利用勾股定理计算出AD长，进而可得AB长；
（2）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB=DC，然后证明AB=AE，DC=DF，进而可得AE=FD，再同时减去EF可得AF=DE．

解答 （1）解：∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°．
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AB=2AD．
在Rt△ADC中，∵∠A=30°，AC=8m，
∴CD=4m，
∴$AD=4\sqrt{3}$m，
∴AB=2AD=$8\sqrt{3}$m；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=DC．
∴∠AEB=∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC．
∴∠AEB=∠ABE．
∴AB=AE．
同理DC=DF．
∴AE=DF．
∴AE-FE=DF-FE，
即AF=ED．

点评 此题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质、平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．