Question

2．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由OA与OC的长确定出A与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；
（2）连接AD，与抛物线对称轴于点P，P为所求的点，设直线AD解析式为y=mx+n，把A与D坐标代入求出m与n的值，确定出直线AD解析式，求出抛物线对称轴确定出P横坐标，将P横坐标代入求出y的值，即可确定出P坐标．

解答 解：（1）∵OA=2，OC=3，
∴A（-2，0），C（0，3），
代入抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-2-2b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：b=$\frac{1}{2}$，c=3，
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3；
（2）连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点，
设直线AD解析式为y=mx+n（m≠0），
把A（-2，0），D（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，
解得：m=$\frac{1}{2}$，n=1，
∴直线AD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{5}{4}$，
则P坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，以及对称轴-最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．