Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AC，BC交于y轴于点C（0，3），两直线AC，BC分别交轴于A，B两点（OA＜OB），且OA，OB的长分别是一元二次方程4x²-25x+36=0的两个根．

（1）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（2）点M是线段AB间的一点，过M点作MQ⊥BC于Q，过Q点作垂线交AB于点P，若△PMQ的周长为

27

4

，求点P的坐标；
（3）当点P的坐标为P（2，0）时，在直线PQ上是否存在一点N，使△BCN为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据解一元二次方程，可得A、B点坐标，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
（2）根据余角的性质，可得∠OQP=∠B，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△MQP∽△BOC，再根据相似三角形的性质，可得PQ的长，再根据平行于三角形的一边与其它两边相交得到的三角形相似，可得△BPQ∽△BOC，根据相似三角形的性质，可得BP的长，再根据线段的和差，可得OP的长；
（3）根据勾股定理，可得直角三角形三边的关系：分类讨论：当BN²+CN²=BC²时，当BC²+CN²=BN²时，当BC²+BN²=CN²时，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）相似，理由如下：
4x²-25x+36=0，
解得x₁=4，x₂=

9

4

，
OA＜OB，得A（-

9

4

，0），B（4，0），即OA=

9

4

，OB=4．
∵OC=3，
∴

OA

OC

=

9 4

3

=

3

4

，

OC

OB

=

3

4

，

OA

OC

=

OC

OB

，∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB；
（2）由MQ⊥BC于Q，得∠OQB=90°，
Q点作垂线交AB于点P，得∠QPO=90°，
∠OQP=∠B，∠QPO=∠OQB，
∴△MQP∽△BOC，
∴

C△MCP

C△AOC

=

PQ

OB

，

27 4

3+4+5

=

PQ

4

，
解得PQ=

9

4

，
PQ∥OC，
∴△BPQ∽△BOC，
∴

BP

OB

=

9 4

3

 即

BP

4

=

9 4

3

，解得BP=3，
OP=OB-BP=4-3=1，
即P（1，0）；
（3）设N点坐标为（2，b），
①当BN²+CN²=BC²时，[（4-2）²+b²]+[2²+（3-b）²]=3²+4²，
化简，得b²-3b-4=0，解得b₁=4，b₂=-1，
即N₁（2，4），N₂（2，-1），
②当BC²+CN²=BN²时，[2²+（3-b）²]+（3²+4²）=（4-2）²+b²，
化简，得6b=34解得b=

17

3

，即N₃（2，

17

3

），
③当BC²+BN²=CN²时，（3²+4²）+[（4-2）²+b²]=2²+（3-b）²，
化简，得-6b=16，解得b=-

8

3

，即N₄（2，-

8

3

），

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，（2）利用了两角对应相等的两个三角形相似，相似三角形周长的比等于相似比，平行线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，（3）利用了勾股定理得出方程是解题关键，注意要分类讨论，以防遗漏．