Question

2．如图，△ABC中．∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD交PE于点F．求证：DF=DC．

Answer 1

分析 根据线段的垂直平分线的性质得出BP=AP，根据等边对等角得出∠BAP=∠B=22.5°，得出∠APD=45°，从而得出△APD是等腰直角三角形，得出AD=DP，然后根据ASA求得△DFP≌△DCA，即可证得DF=DC．

解答 证明：连接AP，
∵PQ垂直平分AB，
∴BP=AP，
∴∠BAP=∠B=22.5°，
∴∠APD=45°，
∵PE⊥AC，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴AD=PD，
∵PE⊥AC，AD⊥BC，
在△DFP和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠DAC}\\{PD=AD}\\{∠PDF=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△DFP≌△DCA（ASA），
∴DF=DC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，解答本题的关键是利用ASA证明△DFP≌△DCA．