Question

11．在直角坐标系中，B是y轴上一点，C是x轴上一点，BC⊥BA，AB=BC，
（1）图1，若B的坐标是（0，1），C的坐标是（-4，0），求A的坐标．
（2）图2，F为CA延长线上一点，BF⊥BG，BF=BG，连CG，证明：CF-CG=AC；
（3）图3，在（2）的条件下，CF交y轴于H，若H是CF的中点，下列结论：①AG=2BH；②BG=GA两个结论中，只有一个是正确的，请选择正确的结论进行证明．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥y轴于E，根据余角的性质得到∠BCO=∠BAE，推出△ABE≌△BCO，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠CBG=∠ABF，推出△CBG≌△ABF，根据全等三角形的性质得到CG=AF，等量代换即可得到结论；
（3）①AG=2BH正确；过F作FK∥BC交BH的延长线于K，根据平行线的性质得到∠CBH=∠K，推出△CBH≌△FKH，根据全等三角形的性质得到CB=FH，∠ACB=∠HFK=45°，通过△ABG≌△FBK，即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AE⊥y轴于E，
∵BC⊥BA，
∴∠CBO+∠ABE=∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BCO=∠BAE，
在△ABE与△BCO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOC=∠AEB=90°}\\{∠CBO=∠BAE}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCO，
∴AE=BO，BE=CO，
∵B的坐标是（0，1），C的坐标是（-4，0），
∴OB=1，OC=4，
∴A（1，-3）；

（2）∵BF⊥BG，
∴∠CBG+∠GBO=∠GBO+∠ABF=90°，
∴∠CBG=∠ABF，
在△CBG与△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠CBG=∠ABF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△ABF，
∴CG=AF，
∵CF=AC+AF，
∴CF=AC+CG，
即CF-CG=AC；

（3）①AG=2BH正确；
过F作FK∥BC交BH的延长线于K，
∴∠CBH=∠K，
∵H是CF的中点，
∴CH=FH，
在△CBH与△FHK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBH=∠K}\\{∠CHB=∠KHF}\\{CH=FH}\end{array}\right.$，
∴△CBH≌△FKH，
∴CB=FH，∠ACB=∠HFK=45°，
∴AB=FH，∠BFK=45°+∠BFA，
∵∠GBA=90°-∠ABF=90°-（∠BAC-∠AFB）=45°+∠BFA，
∴∠GBA=∠BFK，
在△ABG与△FBK中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{∠GBA=∠BFK}\\{AB=FK}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△FBK，
∴AG=BK=2BH．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．