Question

10．如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点P、Q分别在AB、BC边上，且∠AQP=∠B．
（1）求证：△BQP∽△CAQ；
（2）若BP=4.5，求∠BPQ的度数；
（3）若在BC边上存在两个点Q，满足∠AQP=∠B，求BP长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角的性质得到∠PQB=∠CAQ，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质求出BQ=6，根据等腰三角形的三线合一得到∠CQA=90°，根据相似三角形的性质得到答案；
（3）设BQ=x，BP=m，根据相似三角形的性质得到一元二次方程，根据题意和根的判别式计算即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠AQP=∠B．
∴∠AQP=∠C．
又∵∠AQB=∠AQP+∠PQB，∠AQB=∠CAQ+∠C，
∴∠PQB=∠CAQ．
∴△BQP∽△CAQ．
（2）∵△BQP∽△CAQ，
∴$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$．
∴$\frac{BQ}{8}$=$\frac{4.5}{12-BQ}$，
解得BQ=6．
∵BC=12，
∴BQ=CQ=6．
又∵AB=AC，
∴AQ⊥BC，
∴∠CQA=90°．
∵△BQP∽△CAQ，
∴∠BPQ=∠CQA=90°．
（3）∵△BQP∽△CAQ，
∴$\frac{BQ}{AC}$=$\frac{BP}{CQ}$．
设BQ=x，BP=m，则 $\frac{x}{8}$=$\frac{m}{12-x}$，
整理得  x²-12x+8m=0．
∵在BC边上存在两个点Q，
∴方程有两个不相等的正实数根，
∴△=12²-32m＞0，解得 m＜$\frac{9}{2}$，
∴BP长的取值范围为0＜BP＜$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程根的判别式的应用，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．