Question

8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），△AOB为等边三角形，M是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O重合），以线段AM为一边在其右侧作等边三角形△AMN．
（1）求点B的坐标；
（2）在点M运动过程中，∠ABN的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接ON，当ON∥AB时，求M的坐标．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥x轴于H，根据等边三角形的性质求出∠BOH=30°，解直角三角形求出BH、OH，得到点B的坐标；
（2）证明△MAO≌△NAB，根据全等三角形的性质得到∠ABN=∠AOM=90°；
（3）作NH⊥x轴于H，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．

解答 解：（1）作BH⊥x轴于H，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$OB=2，OH=OB×cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，3）；

（2）∠ABN=90°，则∠ABN的大小不变，
∵△AOB、△AMN为等边三角形，
∴∠MAO=∠NAB，
在△MAO和△NAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{∠MAO=∠NAB}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△MAO≌△NAB，
∴∠ABN=∠AOM=90°，
则∠ABN=90°，则∠ABN的大小不变；

（3）作NH⊥x轴于H，
∵ON∥AB，
∴∠ONB=∠ABN=90°，
∵∠ABN=90°，∠ABO=60°，
∴∠OBN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OB=2，BN=2$\sqrt{3}$，
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}+B{N}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴MN=AN=$\sqrt{7}$，
∵∠HON=30°，
NH=$\frac{1}{2}$ON=1，OH=$\sqrt{3}$，
∴MH=$\sqrt{M{N}^{2}-N{H}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴OM=2$\sqrt{3}$，
∴M的坐标为（-2$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．