如图(1).抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C．(1)k=-3.点A的坐标为.点B的坐标为(3.0),(2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M.求四边形ABMC的面积,(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D.使四边形ABDC的面积最大?若存在.请求出点D的坐标,若不存在.请说明理由,(4)在抛物线y=x2-2x+k上求出点Q坐标.使△BCQ是以BC为直角边的直角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图（1），抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）k=-3，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y=x²-2x+k上求出点Q坐标，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

分析（1）把C点坐标代入y=x²-2x+k可其凷k=-3，从而得到抛物线解析式为y=x²-2x-3，然后解方程x²-2x-3=0可得到A、B点的坐标；
（2）把二次函数解析式配成顶点式可得M（1，-4），抛物线的对称轴交x轴于N，如图（1），利用四边形ABMC的面积=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△MNB和三角形面积公式计算即可；
（3）作DE∥y轴交直线BC于E，如图（2），先利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x-3，设D（x，x²-2x-3），则E（x，x-3），则可表示出DE=-x²+3x，利用三角形面积公式得到S_△BCD=$\frac{1}{2}$DE•3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x，然后根据二次函数的性质求解；
（4）先判断△OBC为等腰直角三角形得到∠OCB=∠OBC=45°，讨论：当∠CBQ=90°时，BQ交y轴于G点，如图（3），所以∠OBG=45°，则G（0，3），易得直线BG的解析式为y=-x+3，再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得Q点坐标；当∠BCQ=90°时，CQ交x轴于H点，如图（3），用同样方法得到此时Q点坐标．

解答解：（1）把C（0，-3）代入y=x²-2x+k得k=-3，
则抛物线解析式为y=x²-2x-3，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0）；
故答案为-3，（-1，0），（3，0）；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则M（1，-4），
抛物线的对称轴交x轴于N，如图（1），
四边形ABMC的面积=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△MNB=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×4×（3-1）=9；
（3）存在．
作DE∥y轴交直线BC于E，如图（2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设D（x，x²-2x-3），则E（x，x-3），
∴DE=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$DE•3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，S_△BCD有最大值，
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴x=$\frac{3}{2}$时，四边形ABDC的面积最大，
此时D点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（4）∵OB=OC=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
当∠CBQ=90°时，BQ交y轴于G点，如图（3），则∠OBG=45°，
∴OG=OB=3，则G（0，3），
易得直线BG的解析式为y=-x+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴Q（-2，5）；
当∠BCQ=90°时，CQ交x轴于H点，如图（3），则∠OCH=45°，
∴OH=OC=3，则H（-3，0），
易得直线CH的解析式为y=-x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴Q（1，-2）；
综上所述，点Q坐标为（1，-2）或（2，5）时，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．