Question

3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为$\frac{14}{5}$．

Answer 1

分析 连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$，可解得DE的长，由AE=AD-DE求解即可得出答案．

解答 解：如图，

连接BD、CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=$\sqrt{11}$，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠EBD}\\{∠ADB=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△ABD∽△BED，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$，
即$\frac{DE}{\sqrt{11}}$=$\frac{\sqrt{11}}{5}$，
解得DE=$\frac{11}{5}$，
∴AE=AD-DE=$\frac{14}{5}$．
故答案为：$\frac{14}{5}$．

点评 此题考查了三角形相似的判定和性质，及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED，进一步利用性质解决问题．