Question

15．如图，在平面直角坐标系中，A（2，2），B（3，0），抛物线y=ax²+bx+2经过A，B两点．
（1）a=-$\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$；
（2）若点D为线段OB上一点，连接AD，作AC⊥AD交y轴正半轴于点C．
①当点D坐标为（$\frac{2}{3}$，0）时，AC经过y=ax²+bx+2的顶点P；
②连结CD、AB，设△ADC与△ABD的面积之差为S，问：当点D在何处时S最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）把A、B坐标代入可求得答案；
（2）①设抛物线与y轴交于点E，连接AE，过A作AF⊥x轴于点F，由条件可证明△AEC≌△AFD，则可求得D点坐标；②

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过A，B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+2=2}\\{9a+3b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
故答案为：-$\frac{2}{3}$；$\frac{4}{3}$；
（2）①由（1）知，经过A、B、P的抛物线为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，故顶点P的坐标为（1，$\frac{8}{3}$）．
如图1，设抛物线与y轴交于点E，连接AE，则AE∥x轴，过点A作AF⊥x于点F，

则AE=AF=2，
∵∠CAD=∠EAF=90°，
∴∠CAE=∠FAD
在△ACE与△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠FAD}\\{∠CEA=∠AFD=90°}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ADF（AAS）．
∴CE=DF，
设直线AP解析式为y=kx+s，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+s=2}\\{k+s=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{s=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AP解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，令x=0可得y=$\frac{10}{3}$，
∴OC=$\frac{10}{3}$，且OE=2，
∴DF=CE=$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$，
∵F（2，0），
∴OF=2，
∴OD=OF-DF=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，0），
故答案为：（$\frac{2}{3}$，0）；
②设BD=a，则FD=a-1，
∴AD²=DF²+AF²=（a-1）²+2²=a²-2a+5，
又AC=AD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•AD=$\frac{1}{2}$（a²-2a+5），
又∵S_△ADB=$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$×a×2=a，
∴S=$\frac{1}{2}$（a²-2a+5）-a=$\frac{1}{2}$a²-2a+$\frac{5}{2}$，
即S=$\frac{1}{2}$（a-2）²+$\frac{1}{2}$；
∴当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S_最小值=$\frac{1}{2}$，
即当点D在（1，0）时，S最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数解析式的确定、全等三角形的判定和性质以及三角形面积的求法等重要知识点，能够正确的将求图形面积最大（小）问题转换为二次函数求最值的问题是解答（2）②题的关键．