Question

13．如图①，小华家阳台上放置了一个有6级踏板的人字梯，如图②是人字梯的侧面示意图，梯梁AB与CD相交于点C，现将人字梯完全稳固张开，B，D两点立于水平地面，从下至上，HK是第1级，EF是第6级，每级踏板均与水平地面平行，相邻两级踏板间的距离相等，最上面的踏板EF恰好横于AB，CD之间，经测量：AB=2m，CD=1.75m，EF=0.2m，AC=CE=EG=HB=CF=0.25m．
（1）求人字梯完全稳固张开时，梯子下端B，D间的距离；
（2）求梯梁AB与最上面踏板EF的夹角∠CEF的度数；
（3）小华家天花板距离地面3m，小华静止站立时伸直手臂摸到的最大高度为2m，那么，小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第几级踏板上？（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan23.6°≈0.44）

Answer 1

分析 （1）由题意可知：EF∥BD，所以△CEF∽△CBD，利用对应边的比相等即可求出BD的值．
（2）过点C作CI⊥BD于I点，由于CB=CD，所以点I是BD的中点，利用cos∠CBI的值即可求出∠CEF的度数．
（3）假设MN是小华，且MN=2，NJ是天花板，且IJ=3，过点M作MP⊥BD于点P，利用sin∠CBI=$\frac{MP}{BM}$求出BM的长度，然后即可求出需要站在第几级上．

解答 解：（1）∵AB=2，AC=0.25，
∴CB=AB-AC=1.75
∵EF∥BD
∴△CEF∽△CBD
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{EF}{BD}$
∴BD=1.4m
（2）过点C作CI⊥BD于I点，
∵CB=CD=1.75，
∴△CBD是等腰三角形．
∴BI=$\frac{1}{2}$BD=0.7
∴cos∠CBI=$\frac{BI}{CB}$=0.4
∴∠CBI≈66.4°，
∵EF∥BD
∴∠CEF=∠CBD=66.4°
（3）假设MN是小华，且MN=2，
NJ是天花板，且IJ=3，
过点M作MP⊥BD于点P，
∴MP=NP-MN=3-2=1，
∴sin∠CBI=$\frac{MP}{BM}$，
∴BM=$\frac{MP}{sin66.4°}$≈1.086，
由于相邻两级踏板间的距离相等，且BH=0.25
∴1.086÷0.25≈4.34
故小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第5级踏板上

点评 本题考查解直角三角形的应用，涉及等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识．