Question

14．在等边△ABC中，D，E，F分别为边BC，AB，AC所在直线上的，连接EF，ED，∠DEF=∠A，ED=EF，作EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N．

（1）如图①，求证：EM+FN=$\sqrt{3}$MN；
（2）如图②和图③中线段EM，FN，MN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明；
（3）S_△ABC=4$\sqrt{3}$，BE=$\frac{1}{4}$AB，则ED=$\sqrt{7}$或$\sqrt{43}$．

Answer 1

分析 （1）由△BED≌△CDF得到BE=CD，BD=CF，设BE=a，CF=b，则BC=a+b，求出MN与EM+FN（用a的代数式表示）即可证明．
（2）证明方法类似（1），形变证明方法基本不变，
（3）分类讨论在图①求出EM、MD在RT△EMD中利用勾股定理即可，在图②计算方法类似．

解答 （1）证明：如图①中，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵∠DEF=∠A=60°，ED=EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，DE=DF，
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC，
∴∠BED=∠FDC，
在△BED和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BED=∠FDC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CDF，
∴BE=CD，BD=CF，设BE=a，CF=b，则BC=a+b，
∵EM⊥BC，FN⊥BC，∠BEM=∠CFN=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}a$，CN=$\frac{1}{2}$b，
∴MN=BC-BM-CN=a+b-$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a+b），EM+FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a+b）•$\sqrt{3}$，
∴EM+FN=$\sqrt{3}$MN．
（2）结论EM-FN=$\sqrt{3}$MN．理由如下，
如图②中，连接DF，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，∠DBE=∠DCE=120°，
∵∠DEF=∠A=60°，ED=EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，DE=DF，
∵∠ABC=∠BDE+∠BED=60°，∠EDF=∠FDC+∠BDE，
∴∠BED=∠FDC，
在△BED和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠DCF}\\{∠BED=∠FDC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CDF，
∴BE=CD，BD=CF，设BE=a，CF=b，则BC=a-b
∵EM⊥BC，FN⊥BC，∠BEM=∠CFN=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}a$，CN=$\frac{1}{2}$b，
∴MN=BC-BM+CN=a-b-$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a-b），EM+FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a-b）•$\sqrt{3}$，
∴EM-FN=$\sqrt{3}$MN．
如图③中，结论：FN-EM=$\sqrt{3}$MN，（证明方法类似②）
（3）在图①中，∵S_△ABC=4$\sqrt{3}$，BE=$\frac{1}{4}$AB，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=4$\sqrt{3}$，
∴AB=4，BE=1，由①可知BE+CF=BC，
∴CF=BD=3，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BM=$\frac{1}{2}$，DM=$\frac{5}{2}$，
∴DE=$\sqrt{M{E}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
在图②不合题意，在图③中，∵BE=CD=1，BM=$\frac{1}{2}$，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在RT△DEM中，∵DM=$\frac{13}{2}$，ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=$\sqrt{D{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{43}$，
故答案为$\sqrt{7}$或$\sqrt{43}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题关键是寻找全等三角形，注意这种形变条件不变的题目在证明过程中方法是类似的，属于中考常考题型．