Question

10．如图，正三角形ABC的边长为1，点A，B在半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，则点C转过的度数为30°．

Answer 1

分析 设圆心为O，点C的对应点为C′，连接OA、OB、OC′，利用勾股定理逆定理求出∠AOC′=∠AOB=90°，从而判断出点B、O、C′三点共线，然后根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC′=90°，再根据点C转过的度数=∠BAC′-∠BAC代入数据计算即可得解．

解答 解：如图设圆心为O，点C的对应点为C′，连接OA、OB、OC′，
∵正三角形ABC的边长为1，点A，B在半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的圆上，
∴AO²+C′O²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴AO²+C′O²=AC′²，
∴∠AOC′=90°，
同理可得∠AOB=90°，
∴∠AOC′=∠AOB=90°，
∴点B、O、C′三点共线，
∴∠BAC′=90°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴点C转过的度数=∠BAC′-∠BAC=90°-60°=30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，解答本题关键在于巧妙计算出点B、O、C′三点共线．