Question

2．如图OP=1，过P作PP₁⊥OP且PP₁=1，得OP₁=$\sqrt{2}$，再过点P₁作P₁P₂⊥OP₁且P₁P₂=1，连接OP₂，得OP₂=$\sqrt{3}$；又过点P₂作P₂P₃⊥OP₂且P₂P₃=1，得OP₃=2；依此法继续作下去，得OP₁²+OP₂²+OP₃²+OP₄²+…+OP_n²=$\frac{n（n+3）}{2}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．

解答 解：∵OP₁=$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：OP₂=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
OP₃=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{4}$，
…
OP_n=$\sqrt{n+1}$，
∴OP₁²+OP₂²+OP₃²+OP₄²+…+OP_n²=2+3+4+5+…+n+1=$\frac{n（n+3）}{2}$．
故答案为：$\frac{n（n+3）}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．