Question

18．观察下面所给的三个数a，b，c，a＜b＜c．
3，4，5→3²+4²=5²；
5，12，13→5²+12²=13²；
7，24，25→7²+24²=25²；
9，40，41→9²+40²=41²；
…
21，b，c→21²+b²=c²．
（1）找出它们的共同点，并说明你的结论；
（2）当a=21时，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）根据表格找出规律再证明其成立；
（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．

解答 解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：
①以上各组数均满足a²+b²=c²；
②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25，9²=81=40+41…
由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：
设m为大于1的奇数，将m²拆分为两个连续的整数之和，即m²=n+（n+1），
则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，
证明：∵m²=n+（n+1）（m为大于1的奇数），
∴m²+n²=2n+1+n²=（n+1）²，
∴m，n，（n+1）是一组勾股数；

（2）运用以上结论，当a=21时，
∵21²+b²=c²，
∴c=b+1，且b+c=21²=441=220+221，
∴b=220，c=221．

点评 此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a²+b²=c²，则三角形ABC是直角三角形．