Question

7．如图1，△ABC为等边三角形，△ADE是△ABC的位似图形，位似比为k：1，点D在AB上，点E在AC上．

（1）证明：DE∥BC；
（2）将△ADE绕点A旋转α至△AMN的位置．
①如图2，当AM⊥BC时，请你判断AC与MN的位置关系，并说明理由；
②若四边形AMCN为菱形，如图3，求旋转角α及k的值；
③如图4，当直线MN过点B时，求k与旋转角α（0°＜α＜60°）之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据两个图形必须是相似形得到∠ADE=∠B，根据平行线的性质证明即可；
（2）①延长AM交BC于D，根据等腰三角形三线合一得到∠DAC=30°，求出∠AFM=90°，得到答案；②由四边形AMCN为菱形，得到AC平分∠MAN，∠MAC=30°，于是得到∠BAM=30°，根据四边形AMCN为菱形，得到AF=$\frac{1}{2}$AC，AC⊥MN，解直角三角形得到AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AC，AC=$\sqrt{3}$AM，由于△ABC为等边三角形，得到AC=AB，求得AB=$\sqrt{3}$AM根据相似三角形的性质得到$\frac{AM}{AB}=\frac{k}{1}$，即可得到结论；③如图4，过A作AH⊥MN于H，由于△AMN是等边三角形，同时代的AH=AM•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ADE是△ABC的位似图形，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC；

（2）①AC⊥MN，
证明：如图2，延长AM交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，又∠AMN=60°，
∴∠AFM=90°，即AC⊥MN；
②∵四边形AMCN为菱形，
∴AC平分∠MAN，∠MAC=30°，
∴∠BAM=30°，
∴α=30°，
∵四边形AMCN为菱形，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC，AC⊥MN，
在Rt△△AFM中，cos30°=$\frac{AF}{AM}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AC，AC=$\sqrt{3}$AM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，
∴AB=$\sqrt{3}$AM，
∵△ADE是△ABC的位似图形，位似比为k：1，
∴△AMN∽△ABC，位似比为k：1，$\frac{AM}{AB}=\frac{k}{1}$，AM=kAB，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
③如图4，过A作AH⊥MN于H，
∵△AMN是等边三角形，
∴AH=AM•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，
在Rt△AHB中，∠BAH=α+30°，
∴cos∠BAH=cos（α+30°）=$\frac{AH}{AB}$，
∴AH=AB•cos（α+30°），AB•cos（α+30°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，
由②得：AM=kAB，
∴cos（α+30°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k．

点评 本题考查的是位似变换的性质、旋转变换以及等边三角形的性质，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．