Question

10．△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE∥AB交⊙O于E，交AC于P．求证：AC=DE；PO平分∠APD．

Answer 1

分析 作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如图，由角平分线定义得到∠1=∠2，再由平行线性质得∠D=∠1，则∠2=∠D，于是根据圆周角定理得$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，所以$\widehat{DE}$=$\widehat{AC}$，则根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=DE，所以OM=ON，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到PO平分∠APD．

解答 证明：作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DE∥AB，
∴∠D=∠1，
∴∠2=∠D，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，
∴$\widehat{CD}$+$\widehat{CE}$=$\widehat{AE}$+$\widehat{CE}$，即$\widehat{DE}$=$\widehat{AC}$，
∴AC=DE，
∴OM=ON，
而OM⊥AC于M，ON⊥DE于N
∴PO平分∠APD．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理和角平分线的性质定理的逆定理．