Question

20．己知抛物线y=ax²+bx+c过A（-1，0），B（3，0）C（0，3）
（1）求抛物线解析式，写出对称轴及顶点D的坐标并画出函数图象．
（2）在抛物线上是否存在点P使S_△PAB=6？若存在求出P点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（3，0）C（0，3）代入y=ax²+bx+c求出a=-1，b=2，c=3，即可求出二次函数的解析式，化成顶点式即可；
（2）根据三角形的面积公式求出P点的纵坐标，代入函数的解析式求出x即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）C（0，3）代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2，c=3，
即二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
抛物线的对称轴是直线x=1，顶点D的坐标是（1，4），
函数的图象为：；

（2）在抛物线上存在点P使S_△PAB=6，
设P点的纵坐标为h，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
∵S_△PAB=6，
∴$\frac{1}{2}$×4×|h|=6，
解得：h=±3，
把y=3代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=3，
解得：x=0或2，
把y=-3代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=-3，
解得：x=1+$\sqrt{7}$或1-$\sqrt{7}$，
所以P的坐标为（0，3）或（2，3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）（1-$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，函数的图象，三角形的面积的应用，能求出二次函数的解析式是解此题的关键，数形结合思想的运用．