Question

10．如图，四边形ABCD的面积为1，顺次连结ABCD各边中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连结各边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂；重复同样的方法直到得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 连接对角线，运用三角形中位线定理可得$\frac{B{A}_{1}}{BA}$=$\frac{B{B}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质可得S_△BB1AI=$\frac{1}{4}$S_△BCA，同理可得S_△DD1C1=$\frac{1}{4}$S_△DAC，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=$\frac{1}{4}$（S_△DAC+S_△BCA）=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，进而可得答案．

解答 解：连接AC，BD．
∵四边形A₁B₁C₁D₁是顺次连接各中点得到的，
∴$\frac{B{A}_{1}}{BA}$=$\frac{B{B}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
故△BB₁A_I∽△BCA，相似比为$\frac{1}{2}$，面积比为$\frac{1}{4}$，即S_△BB1AI=$\frac{1}{4}$S_△BCA，
同理可得S_△DD1C1=$\frac{1}{4}$S_△DAC，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=$\frac{1}{4}$（S_△DAC+S_△BCA）=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
同理可得S_△CC1B1+S_△AA1D1=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，故
S_△BB1AI+S_△DD1C1+S_△CC1B1+S_△AA1D1=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
则S_{四边形A1B1C1D1}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$，
同理可得第二个小四边形的面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$即$\frac{1}{{2}^{2}}$．
第三个面积为$\frac{1}{{2}^{3}}$，以此类推第n个四边形的面积为$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 此题主要考查了中点四边形，解答此题的关键是求出四边形A₁B₁C₁D₁的面积，再依此类推求出第二，第三个四边形的面积，找出规律，即可求得第n个四边形的面积．