Question

1．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
（3）（1）中抛物线在第二象限的图象是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交点式可直接得到抛物线的解析式；
（2）先确定C（0，3），抛物线的对称轴为直线x=-1，连接BC交直线x=-1于Q，如图，利用两点之间线段最短解决最短路径问题得到此时QA+QC的值最小，从而确定此时△QAC的周长最小，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+3，然后计算自变量为-1时的一次函数值即可得到满足条件的Q点的坐标；
（3）过PD∥y轴交BC于P，如图，设P（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），则D（x，x+3），则PD可表示为-x²-3x，利用三角形面积公式得到S_△PBC=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x，然后利用二次函数的性质求解．

解答 解：（1）抛物线的解析式为y=-（x-1）（x+3），
即y=-x²-2x+3；
（2）存在．
当x=0时，y=-x²-2x+3=3，则C（0，3），
抛物线的对称轴为直线x=-1，
连接BC交直线x=-1于Q，如图，
∵点A与点B关于直线x=-1对称，
∴QA=QB，
∴QA+QC=QB+QC=BC，
∴此时QA+QC的值最小，
∴此时△QAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=x+3=2，
∴满足条件的Q点的坐标为（-1，2）；
（3）存在．
过PD∥y轴交BC于P，如图，
设P（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），则D（x，x+3），
∴PD=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x，
∴S_△PBC=S_△PBD+S_△PCD=$\frac{1}{2}$•3•PD=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当x=-$\frac{3}{2}$时，S_△PBC值最大，最大值为$\frac{27}{8}$，
此时P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；利用两点之间线段最短解决最短路径问题；理解坐标与图形的性质．