Question

20．在平面直角坐标系中，有一点B（a，b）的横纵坐标满足条件：|2a-24|+（a-b-7）²=0．

（1）求点B的坐标．
（2）如图1，过点B作BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，P为CB延长线上一点，OP交BA于E，若S_△OAE-S_△BPE=18，求P、E两点坐标．
（3）M为（2）中BC上一点，如图2，且OM⊥AM，Q为CM上一动点，F为OQ上一动点，∠FAO=∠COQ，ON、AN分别平分∠QOM与∠FAM，当Q点运动时，∠N变化吗？若不变，求其值；若变化，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质得2a-24=0，a-b-7=0，解方程组求出a和b即可得到点B的坐标；
（2）设P（m，5），E（12，n），根据平行线分线段成比例得$\frac{m-12}{12}$=$\frac{5-n}{n}$，解得n=$\frac{60}{m}$，则E（12，$\frac{60}{m}$），再利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•12•$\frac{60}{m}$-$\frac{1}{2}$•（5-$\frac{60}{m}$）•（m-12）=18，解得m=$\frac{84}{5}$，则n=$\frac{25}{7}$，所以P（$\frac{84}{5}$，5），E（12，$\frac{25}{7}$）；
（3）如图2，由∠FAO=∠COQ可得∠AOF+∠AOF=90°，则∠AFO=90°，根据三角形内角和可得∠QOM=∠MAF，再利用角平分线定义得∠NOM=$\frac{1}{2}$∠QOM，∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MAF，所以∠NOM=∠MAN，然后再利用三角形内角和易得∠N=∠AMO=90°．

解答 解：（1）∵|2a-24|+（a-b-7）²=0，
∴2a-24=0，a-b-7=0，
∴a=12，b=5，
∴点B的坐标为（12，5）；
（2）设P（m，5），E（12，n），则PB=m-12，BE=5-n，
∵PB∥OA，
∴$\frac{PB}{OA}$=$\frac{BE}{AE}$，即$\frac{m-12}{12}$=$\frac{5-n}{n}$，
∴n=$\frac{60}{m}$，
∴E（12，$\frac{60}{m}$），
∵S_△OAE-S_△BPE=18，
∴$\frac{1}{2}$•12•$\frac{60}{m}$-$\frac{1}{2}$•（5-$\frac{60}{m}$）•（m-12）=18，解得m=$\frac{84}{5}$，
∴n=$\frac{25}{7}$，
∴P（$\frac{84}{5}$，5），E（12，$\frac{25}{7}$）；
（3）∠N不变化．
如图2，
∵∠FAO=∠COQ，∠AOF+∠COQ=90°，
∴∠AOF+∠AOF=90°，
∴∠AFO=90°，
∵∠AMO=90°，∠1=∠2，
∴∠QOM=∠MAF，
∵ON、AN分别平分∠QOM与∠FAM，
∴∠NOM=$\frac{1}{2}$∠QOM，∠MAN=$\frac{1}{2}$∠MAF，
∴∠NOM=∠MAN，
∵∠3=∠4，
∴∠N=∠AMO=90°，
即∠N不变化．

点评 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了非负数的性质、三角形内角和定理和三角形面积公式．