Question

8．如图，将等边三角形ABC绕其外心O顺时针旋转α（0°＜α＜120°）至△A′B′C′，交AC于点D，E，若以AD，DE，EC为三边所围成的三角形为直角三角形，则旋转角α=30°或90°．

Answer 1

分析 分类讨论：当A′B′⊥AC于D，如图1，连结OA、OA′，根据等边三角形的性质和旋转的性质得OA=OA′，∠OAD=30°，∠OA′D=30°，则∠OAA′=∠OA′A，所以∠DAA′=∠DA′A，则DA=DA′，同理可得CE=A′E，在Rt△A′DE中，根据勾股定理可得A′D²+A′E²=DE²，即由AD²+CE²=DE²，再由DA=DA′得到∠DAA′=∠DA′A=45°，则根据三角形内角和可计算出∠AOA′=30°；当A′C′⊥AC于E，如图2，同理可得∠COA′=30°，根据等边三角形的性质得∠AOC=120°，则∠AOA′=90°，所以旋转角α=30°或90°．

解答 解：当A′B′⊥AC于D，如图1，连结OA、OA′，
∵等边三角形ABC绕其外心O顺时针旋转α（0°＜α＜120°）至△A′B′C′，
∴OA=OA′，∠OAD=30°，∠OA′D=30°，
∴∠OAA′=∠OA′A，
∴∠DAA′=∠DA′A，
∴DA=DA′，
同理可得CE=A′E，
在Rt△A′DE中，A′D²+A′E²=DE²，
∴AD²+CE²=DE²，
∵DA=DA′，
∴∠DAA′=∠DA′A=45°，
∴∠OAA′=∠OA′A=75°，
∴∠AOA′=30°，即旋转角α=30°；
当A′C′⊥AC于E，如图2，同理可得∠COA′=30°，
而∠AOC=120°，
∴∠AOA′=120°-30°=90°，即旋转角α=90°，
∴以AD，DE，EC为三边所围成的三角形为直角三角形，则旋转角α=30°或90°．
故答案为30°或90°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．