Question

6．如图，Rt△AOB中，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，8），C为AB上一点，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）经过点C，交OB于点D，且CD⊥OB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形OACD的面积．

Answer 1

分析 （1）先求得直线OB的解析式，与y=$\frac{k}{x}$（k＞0）联立方程得到D的坐标为（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，$\sqrt{2k}$），然后根据垂直的性质设直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，代入C（4，$\frac{k}{4}$），求得CD解析式，然后与直线OB的解析式联立方程得到D的坐标为D（$\frac{k+8}{10}$，$\frac{k+8}{5}$），即可得出$\frac{k+8}{10}$=$\sqrt{\frac{k}{2}}$，解方程即可求得k的值．
（2）求得C的坐标，从而求得BC，根据勾股定理求得OB，然后根据相似三角形的性质列出$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BAO}}$=（$\frac{BC}{OB}$）²=$\frac{45}{64}$，根据△OAB的面积求得△BDC的面积，根据S_{四边形OACD}=S_△OAB-S_△BDC即可求得．

解答 解：（1）∵B的坐标分别为（4，8），
∴直线OB的解析式为y=2x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{\frac{k}{2}}}\\{y=\sqrt{2k}}\end{array}\right.$，
∴D（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，$\sqrt{2k}$），
∵点A，B的坐标分别为（4，0），（4，8），C为AB上一点，
∴AB⊥x轴，
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）经过点C，
∴C（4，$\frac{k}{4}$），
∵CD⊥OB，
设直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
代入C（4，$\frac{k}{4}$）得，$\frac{k}{4}$=-2+b，
解得b=$\frac{k}{4}$+2，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{k}{4}$+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{k}{4}+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k+8}{10}}\\{y=\frac{k+8}{5}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{k+8}{10}$，$\frac{k+8}{5}$），
∴$\frac{k+8}{10}$=$\sqrt{\frac{k}{2}}$，
解得k₁=2，k₂=32（舍去），
∴双曲线的解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）把x=4代入y=$\frac{2}{x}$得，y=$\frac{1}{2}$，
∴C（4，$\frac{1}{2}$），
∴AC=$\frac{1}{2}$，
∴BC=8-$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∵∠BDC=∠BAO=90°，∠DBC=∠ABO，
∴△BDC∽△BAO，
∴$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BAO}}$=（$\frac{BC}{OB}$）²
∵OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{80}$，
∴$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BAO}}$=（$\frac{\frac{15}{2}}{\sqrt{80}}$）²=$\frac{45}{64}$，
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$×4×8=16，
∴S_△BDC=16×$\frac{45}{64}$=$\frac{90}{8}$，
∴S_{四边形OACD}=S_△OAB-S_△BDC=16-$\frac{90}{8}$=$\frac{38}{8}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，表示成C、D点的坐标是解题的关键．