Question

14．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，∠EBF=45°，连接EF，求证：EF=AE+CF．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=BC，∠A=∠BCD=90°，把Rt△BAE绕点B逆时针旋转90°得到Rt△BCG，然后可得FG=FC+CG，再证明△BEF≌△BGF，进而可得EF=FG，然后可得EF=AE+CF．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
把Rt△BAE绕点B逆时针旋转90°得到Rt△BCG，如图，
∴AE=CG，BE=BG，∠EBG=90°，∠BCG=∠A=90°，
而∠BCF=90°，
∴点G在BC的延长线上，
∴FG=FC+CG，
∵∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°，
在△BEF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BG}\\{∠EBF=∠FBG}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BGF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=AE+CF．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．