Question

1．在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为5时，它的另一条对角线长为8．
（1）设菱形的两条对角线的长分别为x，y，求y关于x的函数解析式；
（2）若其中一个菱形的一条对角线长为10，这个菱形的边长；
（3）当（1）中的x为何值时，这个四边形是正方形？

Answer 1

分析 （1）由在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为5时，它的另一条对角线长为8，即可得xy=5×8，继而求得答案；
（2）由其中一个菱形的一条对角线长为10，可求得另一条对角线长，继而求得答案；
（3）由当对角线相等时，这个四边形是正方形，继而求得答案．

解答 解：（1）∵在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为5时，它的另一条对角线长为8，
∴S_菱形=$\frac{1}{2}$×5×8=20，
∵菱形的两条对角线的长分别为x，y，
∴S_菱形=$\frac{1}{2}$xy=20，
∴y关于x的函数解析式为：y=$\frac{40}{x}$；

（2）∵其中一个菱形的一条对角线长为10，
∴另一条对角线长为：$\frac{40}{10}$=4，
∴这个菱形的边长为：$\sqrt{（\frac{10}{2}）^{2}+（\frac{4}{2}）^{2}}$=$\sqrt{29}$；

（3）∵当对角线相等时，这个四边形是正方形，
∴x²=40，
解得：x=2$\sqrt{10}$，
∴当x=2$\sqrt{10}$时，这个四边形是正方形．

点评 此题考查了菱形的性质以及正方形的判定．注意菱形的面积等于其对角线积的一半．