Question

10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=$\frac{3}{5}$．求证：CB是⊙O的切线．

Answer 1

分析 连接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，由OC-OE求出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂直，即可确定出BC为圆O的切线．

解答 证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=$\frac{3}{5}$，
∴OE=$\frac{9}{5}$，
根据勾股定理得：BE=$\sqrt{B{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，CE=OC-OE=$\frac{16}{5}$，
在Rt△CEB中，BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB²+BC²=OC²，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．

点评 此题考查了切线的判定，勾股定理及逆定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．